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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 }g'l>z= g  
##WG@Dj  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. LrHH`xl  
pFtJTcn:m  
　　1、三角函数本质： SQ9nj-Itu^  
C_^V#b3C  
　　三角函数的本质来源于定义 8[bUG?f  
~o>sl  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 MPqJ!|[y5R  
;_T{4m  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 kWJ8lSx:@  
tY9hJ)ZY  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Bgi O  
W+/K]Bw  
　　推导： jDT=!4fD.]  
c-;!Lyqa  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 -8W fQ8  
a-rAKg6  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) )A3oT"[Q  
tmy,)=WK#  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) {Kwg9ku  
7H(lb";nj  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 =P+rl6 \  
GS&XeY`X  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 8+>3AS|LG  
29ud&'3r  
　　[1] ]=! j:  
A-]B x;  
　　两角和公式 yFz`Wnw  
DS2^9{` A  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB PT_aII)=  
eq+"X -f`  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  #{7WBivU  
k['V9^kp  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB A- (ygU  
o<bGM6n  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 0*aG!##  
ty_ow5k%  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) c143k"'  
9eVQ<B,R  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) nJ75n  
zF(eW:pLB7  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ;57>ktyq  
Ua6vC<ea  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) L/t/@'a  
+clwBIh  
倍角公式 YmK$HV.  
?ceF0Z  
　　Sin2A=2SinA•CosA G,HM)m-hG  
>,2DtI&=2  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 hp@z N]  
jb4H&&1I=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） uJWSlIQwC  
-AY@E-EG  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） $tcLj7 GA  
, '@&HV  
三倍角公式 ;([RAq%t  
\ee)!5&p]p  
　　 i9w<dPMq  
'Hv5<[n9,  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) xG|UclbP$  
ikg(=^x  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) pC"(FOmD S  
W*,ZTe9  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) N}$o</VP+  
4M%A`3KF|  
三倍角公式推导 gAsLAaZ  
x3fOwXnz&  
　　sin3a > \e~yxh3@  
{]P$sYo2s  
　　=sin(2a+a) .}|QXz ou,  
|x%=%w{g  
　　=sin2acosa+cos2asina 4$!J'  
a,e1r{.,  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina :t-Fs+|r  
"&_w ;QO  
　　=3sina-4sin³a !\#]~ j  
1un)BdF]z  
　　cos3a :5BG7Hcb#  
3U"yY 1  
　　=cos(2a+a) cy3fMUJ<f<  
?7.VAH  
　　=cos2acosa-sin2asina f s|} :  
pjz{Eg  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _ \1*+  
[-uQWL\+  
　　=4cos³a-3cosa =896|kN+  
|@~ lc:L  
　　sin3a=3sina-4sin³a 2g9/#1N\%  
5LR!n -  
　　=4sina(3/4-sin²a) 1K ".L@  
yPp Uv,  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ySEc{ w5"  
nMhzAom#:  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) N#&|k*>W  
yo[m-!/  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Z>5D}yrOf  
DvIy^.SY  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ~]dgqT  
kcOkh McE[  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Exq;h[m  
r_\K'  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Ly&Vx  
$=iV.*+1  
　　=4cosa(cos²a-3/4) RA^w=40  
CHvK!Yqez  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 7FRD>LC^ n  
^vdM4  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) pEcT,Tms  
Z?%RB^;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ?Qt qw}Nt  
oN&i'9<Q{#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 4ig6X@g  
D3 'pff  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4`GN  
0Pl:9PvDE  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ~g7*Ko2;a  
x/Hjk,Y>  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] bCi(6Ny  
T/cA-4r(R  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) JH'$G  
`RA:oF!7*{  
　　上述两式相比可得 i2/,nGedC  
o)VA&bS[  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) LAA:jg6  
HIPjCnEA  
半角公式 GYDk,I]  
~Uk#{6u&  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); $m%$l%jo;6  
`5,ZT0m  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. rD }7  
YUvd YOJ[  
和差化积 X&e;;M}  
T(Oiy%%t  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] C,*ODoTp7  
hefp3~^  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FuSh{ &b  
B" Q/P<  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]J3v9qW/  
PKl>*FA9  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] fHz<c/  
RQ+&w9s  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 7*Fw~DWi  
J#!IK#  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &FAse9a  
rJd8e[J)w  
积化和差 DX4TmYJ  
Z9K$qCM  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] % )KPQA  
}G}7dPs8f  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] x5-4yI  
R6*g=qE_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 2[g)mvzHs  
xyT`%Ho  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?+{ %  
ney~ bX0  
诱导公式 QK}pG|8}  
^r!#(W! G@  
　　sin(-α) = -sinα <pplWfiH  
bZ B[H&  
　　cos(-α) = cosα $4D/{8  
y_Knu&  
　　sin(π/2-α) = cosα U.4q7[   
W% e,G/q  
　　cos(π/2-α) = sinα Gtjg`*M  
*v+To=}lj  
　　sin(π/2+α) = cosα &GfQdMUu_H  
@U=^|r26O?  
　　cos(π/2+α) = -sinα }$87n\"  
$E;d 1QS  
　　sin(π-α) = sinα :#Nx.~]r  
4'cPfaR  
　　cos(π-α) = -cosα WPYl78`\  
q9+Y;@ U  
　　sin(π+α) = -sinα }g b/y~G  
y|Z~X-s  
　　cos(π+α) = -cosα e.F Z|  
o[tc<"  
　　tanA= sinA/cosA 40v( enmQ  
[h75Y~a3  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα P/[!s~$  
D]#3:%  
　　tan（π/2－α）＝cotα @BzNV)L  
rvr( _  
　　tan（π－α）＝－tanα JdrW!+s2  
?nFZC53K  
　　tan（π＋α）＝tanα JDI }NCr  
u; oM#.R  
万能公式 IHuY6f|Y  
kgA}X },  
　　 CDK3/]e"  
~l([UyAX  
其它公式 F_2t?i   
X FrEg  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 du PYL  
iYpPjiq  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ^a:| )2T  
W<V]-@Y  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 u +RL>'lsQ  
Z] W]z[^c  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ]K5I%sgFR  
5Tp%@7%  
　　对于任意非直角三角形,总有 :83&%*5D  
xZ,\hEpQX  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC w-3uKE  
G !{1j[ r  
　　证: fcwG&~ r  
n!ntg  
　　A+B=π-C 2@ |prq4  
6 `hm9]8M  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &oM+l <6i  
$qyeR  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) F?&7XM^  
;|%E@T?  
　　整理可得 b lRqg  
54'@Hc8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [Epoz&c  
MFu=Rv.  
　　得证 AKV'_FhM  
wO-Pee%0t  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 RA0K(9 }i  
N}(v.Gm2p  
其他非重点三角函数 KIG0nSa  
CN|F@xR`  
　　csc(a) = 1/sin(a) ;VyX!  
h-n3!C-pp  
　　sec(a) = 1/cos(a) +h:P|+ I  
GM/X!ZHw  
　　 )T}/z  ~  
=9d  
双曲函数 @M;~V};{  
'&ih*}hIH  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 &S[vys SV  
<,5S4$M5g  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 @ B^IfQ0t~  
E!+q$*.N  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 1.GrY 0  
Taw2 %Xf  
　　公式一： 4O!'V#/  
*5w+=t]  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ^- f]7'k  
h9_0{i<  
　　sin（2kπ＋α）= sinα YluK7h  
0` >STL-  
　　cos（2kπ＋α）= cosα c3 $fSz4  
2T6jYU  
　　tan（kπ＋α）= tanα })C9f2M_ #  
!]]Z4<*  
　　cot（kπ＋α）= cotα O.iy7),  
~ /xzr  
　　公式二： k2W4(}\oS  
0#OVY|9%  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ;CvKj;  
&j#fl^@  
　　sin（π＋α）= -sinα -]"-x cF~\  
sceO##"  
　　cos（π＋α）= -cosα 7tH!b44s  
'_a#J  
　　tan（π＋α）= tanα gcdC*>Zg  
51Vnj?n8#2  
　　cot（π＋α）= cotα 7NsZ|EOu  
ej/? iJ  
　　公式三： ~|~;#9=^%  
8  3p9bl  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： \S]h"CfC$  
.}Lik;  
　　sin（-α）= -sinα YvC^hH[  
W,@++4hQ  
　　cos（-α）= cosα Eg}ixAG^"3  
jCG],l  
　　tan（-α）= -tanα @s*D.i 1F  
c"b-<Cm>  
　　cot（-α）= -cotα 0Nz :E*  
xp1up-!K  
　　公式四： y`6&(M}a!  
0*#PkC  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： P^^}Q[q  
3S)oc)W6j  
　　sin（π-α）= sinα f`Qt|LhP:  
AW/f~=akS  
　　cos（π-α）= -cosα YsVRrh+  
#pM s@ Y  
　　tan（π-α）= -tanα x3|mUIH0  
U[%s5",  
　　cot（π-α）= -cotα 8|/&J;['  
18D4c\~  
　　公式五： xax<$W  
3=*^ _a  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： FZ'GN}qa  
c-G%P}k  
　　sin（2π-α）= -sinα `xX>_2'R  
eym 3 +  
　　cos（2π-α）= cosα )%ndp"&  
E?G?qZ<=  
　　tan（2π-α）= -tanα :BF P-/Og  
cu"jERn}  
　　cot（2π-α）= -cotα Aa jemv  
H\QpSl  
　　公式六： bb/i]IZ  
PoVOl&C9v  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： UwUS  
e3qwC!i0  
　　sin（π/2+α）= cosα [&1a_-t91[  
tnb-9|  
　　cos（π/2+α）= -sinα |'4 +6 U  
L_IG"k-  
　　tan（π/2+α）= -cotα -<u5K}d  
q_8+V!LS-  
　　cot（π/2+α）= -tanα e}pEc6"NKa  
vF@G!Ky  
　　sin（π/2-α）= cosα Xn}Td7(3  
&0/RMB G8  
　　cos（π/2-α）= sinα \4Gij'jg)  
yT/F x/S  
　　tan（π/2-α）= cotα h}StaMdJQ  
T%f|_ IDq4  
　　cot（π/2-α）= tanα gHq mRH  
tp a[V7Io  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 6yL3@TkQF7  
2{R}8(&t  
　　cos（3π/2+α）= sinα }K_ Sy7b  
&Q]WR]g  
　　tan（3π/2+α）= -cotα EWe=GW  
eQIrJoT/@  
　　cot（3π/2+α）= -tanα dSEP)}  
H<=2|}:  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ,R-]s7 x|  
(w,Wmf.T  
　　cos（3π/2-α）= -sinα [cLA nY<  
?_}B >L#  
　　tan（3π/2-α）= cotα zpQ:A\7=<  
q; 4$35  
　　cot（3π/2-α）= tanα h Mk#  
(@Q#! <bP  
　　(以上k∈Z) n/\(C9))  
PYt};[Q  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 AnM1-?_Ux  
3s$mJ:;u!]  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $:[{~K0  
"7`vAc%2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [6r(YdCa  
'Ul:^  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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